Въпреки факта, че понятието мислене е многостранно и включва много функции, начините на мислене винаги могат да бъдат условно разделени на емпирични и научни.

Емпиричният начин на мислене, считан за обикновен, всекидневен, предполага, че човек възприема света субективно, просто постоянно взаимодейства с него. Научният начин е различен. Какво, какво е и какъв вид мислене се счита за научно - ще анализираме в тази статия.

За да научите повече за начините на мислене и да научите как да прилагате над 20 техники, за да вземате бързи, ефективни решения, запишете се за онлайн програмата "Когнитивна наука".

Същността на научното мислене и неговото място в нашия живот

Формирането на научното мислене като основен метод за познаване на заобикалящата действителност започна сравнително наскоро, но основите и основните му модели бяха поставени от древногръцките мислители. И въпреки факта, че сега понятието „научно мислене“ е по-познато на учените, изследователите и научните работници, тя е тясно свързана с емпиричното мислене на човек и всеки от нас познава и прилага определени елементи от него в живота.

Но все пак, за да установим разликата между обикновеното и научното мислене, трябва да идентифицираме две централни концепции:

• Мисленето е познавателната и изследователска дейност на човек, който се стреми към обективно отражение в съзнанието си на същността на предметите, предметите и явленията на реалността около него.
• Науката е дейност, състояща се в събирането, разработването и систематизирането на данни за света, която има за цел да обясни събитията и явленията на заобикалящия свят въз основа на научните закони.

От това можем да заключим: ако в емпиричното мислене човек оперира със своя субективен опит и използва най-простите форми на анализ, то в научното мислене той използва методите за обективност, последователност и доказателства.

Но с развитието на науката човекът стигна до извода, че разликите между разглежданите два начина на мислене изобщо не са толкова категорични, колкото може да изглежда на пръв поглед. И двамата се подреждат по един механизъм - абстракция..

Това означава, че човек, познавайки света, използва способността си да "изключва" от специфичните характеристики на обектите и явленията, за да види същественото. Пример е сравнението на обекти и явления, хора и предмети и тяхното сортиране..

За да илюстрираме това, достатъчно е да си спомним как разделяме средата си на близки хора и такива, с които не искаме да общуваме, да разделим колеги на подчинени и шефове, да определим храната като вкусна или не вкусна и т.н. Имаме нужда от всичко това, за да можем по-добре да разберем как да действаме в определени ситуации, въз основа на нашите цели и задачи..

Но, по един или друг начин, все още можем да различим две категории хора:

• Хората, ориентирани към стила на научното мислене. По правило те са много активни, психологически гъвкави, независими, готови да приемат нови неща и готови за промени. Те предпочитат да спорят и дебатират, стремят се да оценяват обективно света.
• Хората, ориентирани към стил на ненаучно мислене. Такива хора гравитират към всичко, което е интересно, загадъчно и практично. В живота те се ръководят от чувства, оставяйки същността на нещата, доказателството и проверката на резултатите на заден план..

Ние не се задължаваме да преценяваме кой стил на мислене е по-добър, защото всеки може да се придържа към мнението си по този въпрос. Все пак можем да отбележим, че научното мислене (дори и да се прилага само от време на време) има редица осезаеми предимства. Първо, той допринася за придобиването на основни знания за най-различни предмети и явления от околния свят, което означава, че служи като застраховка срещу невежество, глупост и неграмотност..

Второ, този начин на мислене перфектно развива не само точно и математическо, но и творческо и абстрактно мислене..

Трето, научното мислене формира любознателен ум и мотивира човек да реши огромен брой задачи - образователни, професионални, бизнес, лични. В допълнение, той поставя основите на екипната работа и следователно създава ценността на взаимното разбиране и взаимната подкрепа. Значението на науката в живота на човек и общество обаче е много добре описано в това видео.

Характеристики на научното мислене

Науката е специална сфера на човешкия живот, в която знанията за заобикалящата действителност се развиват и теоретично систематизират; тя едновременно представлява както дейността по придобиване на нови знания, така и нейния резултат, т.е. съвкупността от знанията, които са в основата на научната картина на света.

И, разбира се, мисленето на хората, гравитиращи към науката, е различно от мисленето на "обикновените хора". Ето характеристиките на научното мислене, които можем да подчертаем:

• Обективност. Ако вземем друг начин на мислене и познание, тогава ще видим симбиоза на обективно и субективно възприятие. В научното мислене ясно се разграничават субективното и обективното. Например, когато гледаме картина на художник, винаги ще видите отпечатъка на неговия субективен възглед и когато изучаваме законите на Нютон, не получаваме никаква информация за личността на учен..
• Съвместимост. Теоретичните основи, на които се основава всеки комплекс от научни знания, създават специфична система. Тази система може да бъде изградена за десетки и дори стотици години и включва както описания, така и обяснения на явления и факти, които впоследствие определят термини и понятия..
• Разумност. Основата на научното познание включва огромен брой теории, хипотези и предположения. Някои от тях са доказани, а други - не. Но във всеки случай всеки от тях има за цел да бъде разумно доказан или опроверган в бъдеще..
• Стремеж към бъдещето. Науката и научното мислене включват изследване на явления, предмети и предмети, които не са от значение само за текущия период от време, но и такива, които ще бъдат важни в бъдеще. Науката се стреми да предвиди развитието, модификацията и трансформацията на това, което изучава, в нещо, което ще бъде полезно за човечеството в бъдеще. Това обяснява една от основните задачи на науката - определянето на законите и моделите на развитие на обектите и явленията. Научното мислене позволява да се изгради бъдещето от отделни елементи на настоящето.
• Концептуалност. С научния начин на мислене всички закони, термини и теории се фиксират на конкретен език - с помощта на символи, формули и други знаци. Освен това този език се формира през цялото време, докато съществува наука, и също така е в състояние на постоянно развитие, добавяне и усъвършенстване.
• Внимателност. Абсолютно всички научни методи, които учените и изследователите използват в своята работа, изучавайки явления, предмети и връзки между тях, са изключително точно реализирани от хората и са под техния постоянен контрол..
• Експериментален подход. Подобно на емпиричните методи на познание, научното познание предполага провеждането на експерименти, особено в онези случаи, когато се формират някои концепции и теории. Но само научен начин на мислене допринася за получаване на достатъчно количество резултати, с които човек може да направи надеждни заключения..
• Изграждане на теории. Използвайки експериментален метод за получаване на информация, учените съставят теории от информация.

В допълнение към изброените характеристики на научното мислене можем да посочим още няколко:

• логическа последователност - научното познание и неговите елементи не трябва да си противоречат;
• потвърдимост и възпроизводимост - всички надеждни научни знания трябва, ако е необходимо, отново да бъдат потвърдени емпирично;
• простота - максималният възможен диапазон от явления трябва да се обясни, като се използва сравнително малък брой причини и без да се използват произволни предположения;
• приемственост - от множеството нови идеи, които се конкурират помежду си, трябва да се даде предпочитание на тази, която е "по-малко агресивна" по отношение на предишните знания;
• наличие на методология - научните знания трябва да включват използването на специални методи и техники и те трябва да бъдат обосновани;
• точност и формализация - знанията, придобити чрез научното мислене, трябва да бъдат изключително точни и записани под формата на ясни закони, принципи и концепции.

Ако обобщим всичко изложено по-горе, можем да заключим, че научното мислене може да изпълнява познавателни, практически-дейности, културни и културно-идеологически функции, както и социална функция, защото допринася за изучаването на живота и дейността на хората и често определя начините и методите за практическо приложение на съществуващите. знания и умения.

Тук би било подходящо да се каже, че всяко научно знание (знание, получено чрез научно мислене) има две нива - емпирично и теоретично.

Емпирично ниво на знания

Емпиричните знания са знания, за които е доказано, че са надеждни; знания, основани на неопровержими факти. Нещата, които съществуват отделно, не могат да бъдат наречени факти. Например, гръмотевична буря, Пушкин или Енисей не са факти. Фактите ще бъдат твърдения, които фиксират конкретно отношение или свойство: по време на гръмотевична буря вали, романът "Евгений Онегин" е написан от А. С. Пушкин, Енисей се влива в Караво море и т.н..

Говорейки за научното мислене, можем да кажем, че науката никога не оперира с „чисти“ факти. Всички знания, придобити емпирично, изискват интерпретация на базата на конкретни предпоставки. В тази връзка фактите ще имат смисъл само в рамките на определени теории. Емпиричният закон е закон, валидността на който се установява изключително от експериментални данни, но не и от теоретични съображения..

Теоретично ниво на знания

Теоретичните знания могат да приемат една от четирите основни форми:

• Теория. Определя се или като система от централни идеи относно определена област на знанието, или като форма на научно познание, благодарение на което е възможно да се получи цялостна представа за законите и взаимовръзките на заобикалящия свят..
• Хипотеза. Тя може да се тълкува или като форма на научно познание, или като предположение за причинно-следствените връзки на явленията от заобикалящия свят.
• Проблем. Винаги е противоречива ситуация, в която възникват противоречия при обяснението на някои явления. Проблемът изисква обективна теория за решаване.
• Закон. Законът е установена, повтаряща се и значима връзка между всякакви явления в околния свят. Законите могат да бъдат общи (за големи групи явления), универсални и особени (за отделни явления).

Тези форми на научно мислене са предназначени да стимулират научните изследвания и да подпомогнат обосноваването на резултатите, получени с тяхна помощ. Те също така ясно показват сложността на характера на представения тип мисъл..

Всъщност те могат също да включват понятия, преценки, категории, принципи и т.н., но от формално-логическа гледна точка те не изискват отделно разглеждане. И ако ги изучавате от съдържателната страна, тогава те са по-свързани с теорията на познанието като цяло и по тази тема имаме отделна статия „Теория на знанието“.

Особеностите на научното мислене и наличието на две основни нива на научно познание се дължат, наред с други неща, на принципите и методите на научното мислене. Разгледайте основните им разпоредби.

Принципи и методи на научното мислене

Един от основните принципи на научното мислене е използването на експеримент. Това е подобно на емпиричното мислене, но разликата е, че при научен подход резултатите от експериментите се разширяват до по-широк спектър от явления и изследователят има възможност да направи по-разнообразни изводи..

Това става чрез изграждане на теории. С други думи, една от особеностите на научния подход е, че можем да анализираме и обобщим данните, получени в резултат на експерименти..

Друг принцип на научното мислене гласи, че изследователят винаги трябва да се стреми към откъсване и обективност. Докато емпиричното мислене винаги включва прякото участие на човек в експеримента и последващата му оценка на случващото се, научното мислене позволява наблюдение отвън. Благодарение на това вече не рискуваме случайно или умишлено да изкривим резултатите от експеримента..

И според друг важен принцип на научното мислене, изследователят трябва да систематизира данните, за да изгради теории. Още толкова отдавна (до 19 век) най-често се използва емпиричният подход, когато явленията се разглеждат отделно един от друг и отношенията между тях почти не се изучават. Но сега теоретичният синтез на знанието и тяхната систематизация имат много по-голямо значение..

Що се отнася до самото придобиване на знания, научният начин на мислене изисква използването на специални методи за това - начини за постигане на конкретна цел или решаване на конкретен проблем. Методите на научното мислене (познанието), подобно на нивата на научното познание, се делят на емпирични и теоретични, както и универсални.

Емпиричните методи включват:

• Наблюдението е целенасочено и смислено възприемане на случващото се, поради задачата. Основното условие тук е обективността, което дава възможност да се повтори наблюдението или да се използва някакъв друг метод на изследване, например експеримент..
• Експеримент - целенасочено участие на изследовател в процеса на изучаване на даден предмет или явление, предполагащо активно въздействие върху него (обект или явление) с помощта на всякакви средства.
• Измерването е съвкупност от действия, насочени към определяне на съотношението на измереното количество към друго количество. В този случай последният се приема от изследователя като единица, съхранявана в измервателния уред.
• Класификация - разпределението на явленията и предметите по видове, категории, отдели или класове въз основа на техните общи характеристики.

Теоретичните методи се делят на следните:

• Формализацията е метод, при който научните знания се изразяват чрез знаците на изкуствено създаден език.
• Математизацията е метод, при който математическите постижения и методи се въвеждат в изучаваната област на знанието или в областта на човешката дейност.

Важно е да запомните, че теоретичните методи са предназначени да работят с исторически, абстрактни и специфични знания и концепции:

• исторически е това, което се е развило във времето;
• абстрактно е неразвитото състояние на даден предмет или явление, при което все още е невъзможно да се наблюдават установените му характеристики и свойства;
• бетонът е състоянието на даден предмет или явление в неговата органична цялост, когато се проявява цялото разнообразие от неговите свойства, връзки и страни.

Има малко по-универсални методи:

• Анализ - реално или умствено разчленяване на дадено явление или предмет на отделни елементи.
• Синтезът е реална или умствена комбинация от отделни елементи на явление или обект в единна система.
• Приспадане - отделяне от общите частни, от общите разпоредби - специални разпоредби.
• Индукция - разсъждения, водещи от конкретни предложения и факти до общи заключения.
• Използването на аналогии е логичен метод, при който въз основа на сходството на обектите и явленията въз основа на една характеристика се правят изводи за тяхната прилика с други характеристики.
• Абстракция - мислено подчертаване на съществените характеристики и връзки на даден обект и разсейване от други, които са незначителни..
• Моделиране - изучаване на явления и предмети чрез изграждане и изучаване на техните модели.
• Идеализацията е умственото изграждане на концепции за явления и предмети, които не съществуват в реалния свят, но имат прототипи в него.

Това са основните методи на научното мислене. Естествено, ние сме пропуснали много подробности и посочихме само основите, но не се преструваме, че всеобхватно разглеждаме този въпрос. Нашата задача е да ви запознаем с основни идеи и концепции и смятаме, че сме се справили с нея. Следователно остава само да обобщим.

Кратко обобщение

Развитието на научното мислене повлия на формирането на научна картина на света - специален тип система от знания от различни области, обединени от единна обща научна доктрина. Той съчетава биологични, химични, физични и математически закони, които дават общо описание на света.

В допълнение към научната картина хората имат философски, художествени и религиозни възгледи към заобикалящата действителност. Но само научното възприятие може да се нарече обективно, системно, синтезиращо и анализиращо. Освен това отражението на научното възприятие може да се намери и в религията, и във философията, и в продуктите на художествената дейност..

Научното познание и научното мислене са повлияли дълбоко на алтернативните начини на мислене. В съвременния свят може да се наблюдава, че на базата на постиженията на науката се случват промени в църковните догми, социалните норми, изкуството и дори ежедневието на хората..

Спокойно можем да кажем, че научното мислене е метод за възприемане на реалността, подобряване на самото качество на познанието, допринасяне за самоусъвършенстването на индивида. В резултат на това човек има комплекс от осезаеми предимства: започва да осъзнава и разбира най-належащите индивидуални задачи, да поставя по-реалистични и постижими цели, да взема правилни решения и да преодолява трудностите по-ефективно.

Научното мислене помага да се подобри живота на всеки индивид и обществото като цяло, както и да се разбере смисъла на живота и неговата цел.

Навиците на хората с математическо мислене

Здравей Geektimes! Наскоро разработчиците на Wirex, финтех стартъп, който предоставя услуги за разплащане и парични преводи без банково посредничество, се натъкнаха на много интересен материал. Нейният автор анализира някои от характеристиките, присъщи на хората с математически начин на мислене, разказа какви умения наистина могат да бъдат полезни в живота и очерта предимствата на математическия подход при оценяване на събитията. За да не остане тази публикация само в зрителното поле на аудиторията на чуждестранните медии, решихме да направим нейния превод, който бързаме да споделим с всички потребители на Geektimes.

По-долу е оригиналният превод на статия от платформата за средни блогове за навиците, които има всеки математик..

Един от най-популярните въпроси, които студентите задават на учителите по математика, е: "Къде имам нужда от това изобщо?" Малко учители успяват незабавно да дадат разумен отговор, който надхвърля общоприетата гледна точка. Те обикновено дават стандартно обяснение за полезността на развитието на „критическото мислене“ и там свършва спецификата. В същото време същите тези учители трябва да могат да разказват на учениците си с непромокаем ефир за важността на познаването на производната на аркозина.

Предлагам ви моя списък. В него включих реални, ясно формулирани умения, които, като са добре овладени от учениците, ще им бъдат полезни на практика и ще бъдат полезни в живота извън рамките на техните математически дейности. Някои от тях са от приложно естество: математиците използват всеки ден, за да разсъждават за сложни, многостранни проблеми. Други са социално полезни и ви позволяват да тренирате емоционалната си интелигентност, което е толкова необходимо за всеки, който иска да постигне успех в сфера на работа, където прекарвате по-голямата част от времето си в опит да разберете нещо, което всъщност не съществува. Всички те се изучават в най-чистия им вид в рамките на математиката..

А ето и самият списък:

1. Способност за формулиране на дефиниции
2. Мислейки за примери и контрапримери
3. Способност да правите грешки често и да признавате грешките си
4. Оценка на последиците от изявлението
5. Възможност за преглед на предположенията, залегнали в изявление, отделно един от друг
6. Методът на абстракционната стълба

Способност за формулиране на дефиниции

Основното умение, което математиците развиват в хода на професионалните си дейности, е гъвкавостта и ефективността в работата с концептуалния апарат. И това умение е много по-важно, отколкото може да изглежда на пръв поглед. Под това искам да кажа, че математиците са буквално обсебени от намирането на най-добрите и полезни значения за всяка дума, която използват. Те се нуждаят от логическа прецизност, тъй като оперират в свят на концепции, които могат да бъдат еднозначно потвърдени или опровергани. И ако някое понятие има „семантична завършеност“, то то задължително трябва да бъде дефинирано.

Нека започна с математически пример, който има нещо общо с реалния свят. Нека да поговорим за „случаен“. Концепцията за случайност обсебва математиците в почти цялата съвременна история на науката, тъй като е доста трудно да се даде точно определение на това събитие, което може да се нарече случайно. Статистическите учени решават тази главоблъсканица, като считат не нещата за случайни, а процеси и съответно вярвайки, че вероятността от събитие може да се изчисли въз основа на резултатите от процесите. Ето как можете да характеризирате накратко концепцията, която, въпреки своята простота, е в основата на почти цялата статистика..

Това обаче не е единственото определение за случайност. Вземете например ситуация с хвърляне на монети. Последователността OROOOOOORROROROOOOORO ще ни се стори съвсем случайна, докато двадесет еднакви „орли“ в един ред, които никога няма да искаме да разпознаем като случайно съвпадение. Математиците разгледаха тази ситуация и решиха, че статистическата дефиниция на случайността не е достатъчна и измислиха второ определение, наречено "сложност на Колмогоров". Грубо казано, едно събитие се нарича „случайно според Колмогоров“, ако най-късата компютърна програма, която го възпроизвежда, по същество се състои от това събитие. Отбелязвам веднага, че тук е използвано чисто математическото определение „компютър“, тоест не говорим за съвременните компютри, а за концепцията, с която Алън Тюринг все още оперираше. По-просто казано, можете да си представите, че случайно събитие според Колмогоров изисква да го опишете изцяло в изходния код на компютърната програма, която го възпроизвежда.

Сложността на Колмогоров е прераснала в прекрасна отделна област от математиката и изчислителната теория, но това не е краят на нашата история. Изучавайки и развивайки тази посока, математиците скоро откриват, че при много събития сложността на Колмогоров не може да бъде изчислена и следователно може да бъде много трудно да се използва за решаване на практически проблеми. Изискваше се дефиниция, която може да опише числа, които да изглеждат случайни и да са достатъчно случайни за практическа употреба, въпреки че всъщност не са случайни в смисъла на Колмогоров. Резултатът от тези търсения беше определението за криптографски сигурна случайност, използвана днес.

Опростена криптографска дефиниция на случайността предполага, че нито една ефективна компютърна програма, която има за цел да разграничи псевдослучайни и наистина случайни събития (в статистически смисъл), няма да има значително предимство пред опита да отгатне резултата с вероятност 50 с 50. Този подход гарантира, че вашата последователност от числа е достатъчно произволна, че враговете ви не са в състояние да определят кои числа ще използвате, тъй като техните опити да направят точни изчисления ще бъдат сравними по време с техния живот. Това е основата на съвременната криптография, която е използвана от инженерите за проектиране на системи, поддържащи сигурността и поверителността на нашите интернет комуникации днес..

Така математиците прекараха много време в обмисляне на определения, което в крайна сметка повлия на начина, по който използваме математиката в реалния свят. Не виждам обаче това като аргумент за необходимостта да се учи математика на всички..

Как може мисленето за определения да помогне на хората в реалния свят? Нека да разгледаме конкретни примери. Първият ще бъде случаят с Кийт Девлин, математик и консултант, който помогна на агенциите за отбрана на САЩ да подобрят анализа на данните след 11 септември. Той започва описанието на първото си представяне, като се намира в стая с голяма група представители на военни контрактори и започва разговора си, като се опитва да разбере определението на думата „контекст“. След това ви давам основните откъси от неговата история..

Приготвях проекта си PowerPoint... и бях сигурен, че присъстващите ще ме спрат на половината път през презентацията, помолете ме да спра да си губя времето и да ме пуснат в най-близкия самолет до Сан Франциско.

Това не надхвърли един слайд. Но не защото бях ескортиран от офиса. Просто останалата част от сесията беше прекарана в обсъждане на съдържанието на този слайд... Както ми каза по-късно: „Само този слайд оправда участието ви в проекта“.

И така, какво казах? Според мен нищо особено. Предизвикателството ми беше да намеря начин да анализирам как контекстът влияе върху анализа на данните и вземането на решения във високо сложни области на дейност, които съществуват на кръстовището на военни ведомства, политика и социални фактори. Направих много очевидна (за мен) първа стъпка. Трябваше да напиша възможно най-точно математическо определение на „контекста“. Отне ми няколко дни... Не мога да кажа, че бях абсолютно доволен от резултата... Въпреки това, това беше най-доброто, което можех да направя, и този процес поне ми даде солидна основа да започна да разработвам някои елементарни математически идеи.

Доста голяма група умни хора, истински учени, военни контрагенти и висши служители на Министерството на отбраната прекараха останалия час от отделеното ми време в обсъждане на това едно определение. Дискусията разкри, че различните експерти имат различно разбиране за контекста, което е сигурен начин за бедствие. От самото начало им зададох въпроса: "Какво е контекст?" Всички в стаята, освен мен, имаха добра работна дефиниция на концепцията, но всички определения бяха различни. И никой от участниците по-рано не предложи да напише едно-единствено официално определение. Те просто не са свикнали да го правят като част от своята работа. След като това беше направено, те имаха обща отправна точка, която им позволяваше да сравняват и да сравняват преди всичко собствените си идеи. Благодарение на това успяхме да избегнем бедствия..

Като математик Девлин не направи нищо необикновено. Всъщност най-често срещаният въпрос, пред който се сблъсква математикът, когато се сблъска с нов предмет на обсъждане, е: "Какво точно имаш предвид под тази дума?"

И въпреки че конкретният пример на Девлин за консултиране на военното разузнаване е много специфичен, техниката, която използва, е универсална. Именно тя е в основата на толкова популярния, но много неясен термин „критично мислене“. Представете си ситуация, при която обикновеният гражданин, отхвърлящ математическите идеи, слуша новините и чува как един политик казва: „Имаме силни доказателства за оръжия за масово унищожение в Ирак“. Ако слушателят има добро математическо образование, той би си задал въпроса: „Какво точно имаш предвид под„ тежки доказателства “и„ оръжия за масово унищожение “?“. Всъщност точността на тези понятия играе решаваща роля при определянето дали предложената мярка за отмъщение - обявяването на война - е законна. Без да разберете определенията, няма да можете да вземете информирано решение и да говорите за или против. Ако обаче слушате новините за забавление или да се чувствате като част от политическо стадо, то истината е последното нещо, което ви интересува..

Всеки от нас трябва да се справи с нови определения, независимо дали става дума за ново определение на брака или пола или юридически определения на „намерение“, „разумност“, „поверителност“. Изисканият математик веднага ще забележи, че правителството не може да даде никаква полезна дефиниция на такова нещо като "религия". Способността да се мисли критично въз основа на определенията е в основата на всеки цивилизован диалог.

Навикът да мислят за определения се развива сред математиците в начален етап от обучението им в университет и се затвърждава в магистърската програма и следващите етапи от тяхната научна дейност. Обикновено математик ежедневно се сблъсква с нови определения и това се случва в най-различни контексти. Е, самата способност да се справят уверено с понятия и термини ще бъде полезна за всички, които го овладеят..

Мислейки за примери и контрапримери

Е, сега предлагам да практикувам малко работа с определения в неформална обстановка. Под „контрапример“ имам предвид пример, който показва, че нещо спира да работи или не е наред. Например, числото 5 е контрапример на твърдението, че 10 е просто число, тъй като 10 е делимо на 5 без остатък..

Математиците прекарват много време, предлагайки примери и контрапримери за голямо разнообразие от твърдения. Тази точка е много тясно свързана с предишната за определенията, защото:

1. Често, когато излезе с ново определение, човек има предвид набор от примери и контрапримери, на които трябва да съответства. Така примерите и контрапримерите помагат за създаването на добри дефиниции.
2. Първото нещо, което всеки математик прави, когато се сблъсква с определение, което вече съществува за себе си, е да запише примери и контрапримери, които могат да помогнат за по-доброто разбиране..

Примерите и контрапримерите обаче надхвърлят само обсъждането на дефиниции. Помагат ни да оценим твърденията и да разберем значението им. Всеки, който е учил математика, е добре запознат с този подход, известен също като предположение и доказателство..

И се състои в следното. Докато работите върху даден проблем, вие изучавате определен математически обект и записвате информацията за него, която искате да докажете. Тоест правите разумно (или неоснователно) предположение за някакъв модел, характеризиращ изучавания обект. Това е последвано от доказателство, когато се опитвате да потвърдите или опровергаете изявление.

Като лоша аналогия предположението е, че Земята е в центъра на Вселената. Подкрепяте това предположение с характеристики на обекта, които удовлетворяват това твърдение. В нашата слънчева система бихте могли да направите модел на играчка, показващ пример за това, което смятате, че би изглеждала една вселена на модела със Земята в центъра й, ако Вселената може да бъде толкова проста, колкото играчка. Като алтернатива можете да направите някои измервания, които включват вземане под внимание характеристиките на Слънцето и Луната и да получите доказателство, че това твърдение е невярно и всъщност Земята се върти около Слънцето. Така че в света на математиката това „доказателство“ е контрапример и можете да го наречете такова, само ако неговата истина подлежи на недвусмислено потвърждение. „Доказателството“ в математиката често действа само като временен заместител, докато истината не бъде разкрита. Въпреки всичко това обаче има известни проблеми, за решаването на които математиците се борят стотици години досега и не са предоставили нищо за тях, освен „доказателства“.

Тази аналогия описва какво се случва в математиката дори на най-микроскопично ниво. Докато се гмуркате в даден проект, вие правите нови малки предположения на всеки няколко минути, обикновено завършвайки с опровергаването им, тъй като по-късно осъзнавате, че те са нищо повече от напълно неоснователни предположения. Това е много интензивен, „изпомпан“ научен процес, състоящ се от анализа на стотици лъжливи хипотези, които в крайна сметка водят до приятен резултат. Противопоказанията, които намирате по пътя, действат като пътни знаци. Впоследствие те помагат на вашата интуиция и след като са здраво вкоренени в главата ви, процесът на приемане или отричане на по-сложни предположения става сравнително прост..

За пореден път стигаме дотам, че възможността да се измислят интересни и полезни примери и контрапримери е един от стълбовете на продуктивното разсъждение. Ако някога сте чели преписи от съдебно заседание на Върховния съд, например дело, обсъждащо законността на носенето на бради по религиозни причини, ще видите, че повечето аргументи са тестови случаи и контрапримери за тестване на предварително установени законови определения на „разумност“, „религия“ и "Намерения" за сила. Този подход също намери безброй приложения във физиката, инженерството и теорията на изчисленията..

Има още един, много по-малко очевиден, но не по-малко важен момент. Поради факта, че математиците трябва редовно да правят толкова грешни, глупави и лъжливи предположения през цялата си кариера, те стават имунизирани да приемат сляпо твърдения, основани на силата на нечий глас или културни пристрастия. Ако признаем, че в днешното колективно общество хората са станали твърде склонни да вярват на гласовете на другите (политици, медийни „експерти“, финансови говорители), тогава изучаването на математика е чудесен начин да се култивира здравословно чувство на скептицизъм у хората. Това умение ще бъде също толкова полезно за инженери и водопроводчици, медицински сестри или събирачи на боклук..

Способност за грешки и признаване на грешки често

Двама математици, Изабел и Грифин, обсъждат математическо изявление на дъската. Изабел смята, че твърдението е вярно и пламенно защитава своята гледна точка в спор с Грифин, който вярва в противното. След 10 минути те променят гледните си точки в точно обратното и сега Изабел счита това твърдение за невярно, докато Грифин вярва, че те са верни.

Виждам подобни ситуации през цялото време, но само в света на математиката. Единствената причина, поради която това може да се случи, е, че и двамата математици, независимо кой от тях всъщност е прав, са готови не само да приемат, че грешат, но и с желание да променят страната на спора, веднага щом почувстват поне в своите аргументи. най-малък недостатък.

Понякога в група от 4-5 души, обсъждащи определено твърдение, аз съм единственият, който не е съгласен с мнението на мнозинството. Ако моят аргумент е достатъчно добър, всички в публиката веднага ще приемат факта, че са сгрешили, правейки това без никакво съжаление или отрицателни емоции. По-често обаче се оказвам на страната на мнозинството и трябва да се върна в моите разсъждения или да преразгледам и подобря вижданията си.

Навикът да поощряваме съмнението, да грешим, да го признаваме и да започваме отначало колкото е възможно по-често - всичко това отличава математическата дискусия от дори хвалената научна дискусия. Тук няма да видите никакви опити за постигане на желаната p-стойност или скрито лобиране. Няма място в математиката за желанието да станеш известен, защото почти всичко, което казваш, като правило, не оставя границите на малка група участници в дискусията. Математикът в бизнеса е напълно погълнат от процеса на търсене на истината и професионалните му навици му позволяват да изхвърли личната слава или страха от срам заради основната цел на проникване в същността на проблема..

Оценка на последиците от изявлението

Скот Арънсън написа публикация в блога за убийството на Джон Ф. Кенеди и теориите за конспирация. В него той разглежда твърдението „убийството на Джон Ф. Кенеди беше конспирация в мащаб, съпоставим с големината на ЦРУ“ и дава оценка въз основа на прости и ясни аргументи, много сходни по своя характер с подхода на математиците и компютърните учени. Помислете за пример от неговия пост:

10. Почти всички теории на конспирацията за Джон Фицджералд Кенеди изглеждат неверни, просто защото всички си противоречат. Щом разберете това и започнете да ги разглеждате въз основа на това, че поне един от тях би могъл да бъде истина, едно разбиране веднага ще се спусне върху вас: ще разберете, че нищо не ви спира, просто да ги изтриете всички..

12. Ако организаторите на конспирацията бяха толкова мощни, защо се ограничиха само да убият президента, без да постигнат по-впечатляващи резултати? И защо заговорниците не започнаха още по-рано, с фалшифициране на избори, за да попречат на Кенеди да стане президент? В математиката често намирате недостатъци във вашия аргумент, като осъзнавате, че само той ви дава много повече, отколкото първоначално сте мислили. И все пак всички аргументи за конспирация, които прочетох, изглежда имат същия недостатък. Например, какво се случи с заговорниците, след като успешно завърши плановете си? Организацията им просто ли се е разпуснала? Или продължиха да излюпват и организират други планове за убийства? Ако това не се случи, тогава какво им попречи? Не е ли работата на световните тайни кукловоди непрекъснато занимание? И къде като цяло, ако, разбира се, е възможно, силата на тази организация свършва?

Всъщност изучаването на границите на това или онова твърдение е ежедневният хляб за всеки математик. Това е един от най-простите инструменти на високо ниво, достъпни за всички за оценка на валидността на иска, преди да се пристъпи към подробно обсъждане на аргументите. И този метод може да се използва като лакмусов тест, за да се определи кои аргументи трябва да бъдат разгледани по-подробно..

Понякога вземането на аргумент до неговите граници води до подобрена и по-елегантна теорема, която включва първоначално изявление. Но по-често, отколкото не, просто осъзнавате, че грешите. Следователно този навик е по-малко официален вариант по темата за често срещаните грешки и измислянето на контрапримери..

Възможност за преглед на предположенията, залегнали в изявление, отделно един от друг

Математиката има и една, може би, досадна функция: тя е пълна с неясноти. Обичаме да се отнасяме към нея като към някакво олицетворение на непоколебимостта. И дори съм готов да споря в полза на тази идея. Колкото и да е, процесът на математика - изследване на съществуващи идеи или измисляне на нови - има много повече общо с комуникацията между двама души, отколкото суров и студен като непоколебимост на леда..

И така, когато математик прави някакво изявление, той по правило се опитва да формулира основната идея възможно най-просто, за да я предаде на други хора. Това обикновено означава, че значението на изразите, използвани във формулировката, може да не е ясно за други хора, особено ако разговорът се провежда между двама математици, които са запознати с общия контекст на разговора, и в тази ситуация сте външен човек, който се опитва да ги разбере..

Когато се окажете в подобна ситуация в математиката, прекарвате много време, връщайки се към основите. Задавате въпроси като „Какво означават тези думи в този контекст?“ и "Какви очевидни опити вече са направени и отхвърлени и защо?" Опитвайки се да се задълбочим по-дълбоко в същността на въпроса, вие задавате въпроса: "Защо тези въпроси са толкова важни?" и "Докъде води тази линия на изследване?"

Това са методите, които математик използва за събиране на информация за обект, който се обсъжда. Единственият лайтмотив на този подход е да изолирате всяка йота информация, която ви обърква, всяко предположение, което стои в основата на вяра или твърдение. Този подход е драстично различен от всеки друг вид дискусия, наблюдавана в света днес..

Например някой опитал ли се е да разбере цялостно мирогледа на Доналд Тръмп, докато се подготвя за тази година много противоречиви президентски избори? Повечето либерали чуват само „Ще построя стена и ще накарам Мексико да плати за това“, смеейки се на Тръмп и го обявява за луд. Прилагайки математически подход към това твърдение, първо трябва да разберете откъде произлиза. Каква целева аудитория е насочена към Тръмп? Какви алтернативни начини за решаване на проблема с имиграцията той разгледа и изключи и защо? Защо имиграцията е толкова важна тема за неговите привърженици и какви предположения в неговата логика водят до такива решения? Какво е толкова специално в разбирането и знанията на Тръмп, което прави предложенията му за кампания толкова популярни??

Не, не се опитвам да заемам тази или онази политическа позиция. Искам само да насоча вниманието ви към факта, че ако математик се окаже в изключително двусмислена ситуация, отделен анализ на предположенията, залегнали в основата на това или онова изявление, ще бъде част от общата схема на неговите действия. Феноменът на "либералните медии, които подценяват Тръмп", дължи съществуването си до голяма степен на нежеланието да задава въпроси като тези по-горе и да получава отговори на тях. Вместо това противниците на Тръмп просто туитват цитати от заблудените си и неприкосновени привърженици. Според резултатите от проучването обаче този подход не носи осезаеми резултати...

"Стълба на абстракция"

Последният навик в моя списък е концепцията за стълба на абстракция, която взех назаем от Брет Виктор. Същността му се състои в това, че докато разсъждавате за решение на даден проблем, можете да абстрахирате, да го погледнете и да мислите за него от височина на различни нива, по аналогия с придвижването нагоре и надолу по стълбище, където по-висока стъпка означава по-високо ниво на абстракция. Виктор дава интерактивен пример за разработване на алгоритъм за управление на автомобил. В него можете да разгледате работата му с най-малки подробности, сравнявайки конкретен вариант на алгоритъма и резултатите от наблюдението на неговото поведение..

На по-високо ниво (по-висока стъпка) можете да контролирате различни параметри на алгоритъма (и време) с плъзгач, превръщайки един вариант на алгоритъма в цяло семейство от извлечени алгоритми, всеки от които също може да бъде отстранен от грешката. Можете допълнително да генерализирате кои параметри и поведение могат да бъдат отстранени с грешки, за да разширите обхвата на възможните алгоритми. Така че в процеса на работа търсите обобщени схеми на действие, които могат да ви помогнат да постигнете крайната цел - разработването на висококачествен алгоритъм за управление на автомобил от гледна точка на най-ниското ниво, от което е започнала работата ви..

Математиците използват тази техника редовно, особено в по-късните етапи на завършването на училище, когато трябва да се научите как да се справите с огромно количество изследвания. Там нямате време да проучите задълбочено всяка част и всяко твърдение в тази или онази работа, с изключение на може би най-важната от тях. Вместо това създавате „стълба на абстракцията“, дъното на която съдържа отделни определения, теореми и примери от произведението, следващото ниво е обобщеното му съдържание, а по-високото ниво разглежда как работата се свързва с други изследвания и се вписва в по-широк математически контекст.... Още по-високи са системообразуващите тенденции за тази област на знанието, какво се счита за важно, модерно и т.н..

Можете да започнете от най-ниското стъпало на стълбата, като прегледате и разберете няколко примерни дефиниции, за да осигурите солидна справка, след което преминете към основната теорема на работата и ще видите какви подобрения предлага спрямо предишната работа в тази област. Докато четете, може да се натъкнете на техника от непозната област, която е изобретена през 50-те години. Просто го използвайте като готово решение, като се съсредоточите върху по-полезно доказателство за основната теорема и по този начин слизате с една стъпка. След това можете да преминете към главите относно нерешените проблеми, за да видите какво остава да се направи в тази област и ако те изглеждат доста примамливи, можете да се подготвите да работите върху тях, като внимателно прочетете останалата част от работата..

Всъщност математиците трябва да упражняват своите абстракционни мускули, когато говорят за собствената си работа. Аудиторията на лекциите е различна и всеки слушател може да оцени съдържанието на математическа идея с различно ниво на детайлност. Някои теореми се отдават най-добре на пример за конкурентни игри и техния контекст, проблеми с оптимизацията на други примери, а в някои случаи е дори уместно да се цитират аналогии от металургията..

Може би можем да кажем, че комбинирането на информация от всички стъпала на стълбата в един хармоничен модел, който можете да разгледате независимо и в мащаба, от който се нуждаете, е една от често срещаните и трудни задачи в света на математиката. Виктор се опитва да опрости това умствено упражнение чрез разработване на функционален потребителски интерфейс. Други математици го практикуват с различни техники, които попадат в ръцете им. Така или иначе, какъвто и да е подходът, крайният резултат винаги е от голяма полза..

заключение

В никакъв случай не предполагам, че развиването на усъвършенствани математически навици е абсолютно възнаграждаващо. В реалния свят много от тези навици са меч с две остриета. Всеки, който е получил университетска степен по математика, познава човек (или той самият), който непрекъснато прави коментари, че изразът А не винаги се оказва истинен в специален случай Б, който никой нямаше да вземе предвид от самото начало. Необходима е много социална зрялост, за да се разбере кога този подход е продуктивен и кога само вбесява другите, което от своя страна се постига извън чисто математически разговори..

Освен това, свикването с нуждата „винаги да греша“ често отнема първите няколко години работа на пълен работен ден. Поради това много студенти, които нямат подкрепата на връстниците си на същия етап на обучение или добър модел за подражание, отпадат. Кариерата на математик е наистина емоционална влакче.

С други думи, религиозната преданост към описаните по-горе принципи във всяка отделна житейска ситуация ще доведе само до факта, че хората ще се отнасят отрицателно към вас или вие сами ще се чувствате като безполезен глупак. Всичко е в разбирането кога точно да се въоръжите с уменията на математическото мислене, които могат, като нож на готвача, безопасно и ефективно да изрежат идеи и аргументи на малки парчета и да ги отделят от всички ненужни..

Следете актуализации в блога за банкиране на блокчейн Wirex и бъдете сред първите, които четат най-обсъжданите материали за чуждестранни източници, преведени специално за потребители на Geektimes.